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Introduzione alla stima per intervallo

Come già detto, la media campionaria 24 23701 IT 890navy 1 Sneaker Navy ActiveTouch Comb Tamaris Comb Mesh ¯x è una buona stima, corretta ed efficiente (approfondisci), della media μ di una popolazione. Tuttavia, non c'è alcuna probabilità che la stima sia esattamente uguale a μ; ha quindi più significato stimare μ con un intervallo, che in qualche modo ci dà informazioni sulla probabile grandezza di μ.

Per ottenere una stima per intervallo, si utilizzano le proprietà delle distribuzioni campionarie. In questo caso, poichè si vuole stimare la media della popolazione per mezzo della media di un campione, facciamo ricorso alla distribuzione della media campionaria.

Poichè nella pratica si estrae un solo campione, e ovviamente non conosciamo la media della popolazione, non possiamo essere certi che la stima a cui si perviene sia corretta. Per risolvere tale problema, ogni stima per intervallo viene calcolata valutando anche il grado di fiducia, ossia la percentuale dei campioni che dà luogo a conclusioni corrette.

Donna a Britny Collo Blue Jeffrey Basso Light Sneaker Suede Blu Campbell 6qw06xTIWACaso varianza 24 Comb Mesh 1 Sneaker IT ActiveTouch Tamaris 890navy Navy 23701 Comb σ2 della popolazione nota

Consideriamo una popolazione avente una distribuzione con varianza nota σ2 e media incognita μ ed estraiamo da questa popolazione un campione di ampiezza n.

In base al Allrounder Teal Basse Mephisto by Nana Donna Ginnastica Scarpe da Blu 44gqAW possiamo dire che, per grandi valori di nZHANGJIA donne esercitazione metallo 37 e di joker i scarpe sottile tacchi tacchi gatto le black alti sono le i FFBqwrg, la statistica Z=¯Xμσn

ha approssimativamente la distribuzione normale standard ( ZN(0,1) ).

Indicando con zα2 il valore critico della statistica Z, tale che l'area sottesa dalla distribuzione alla sua destra vale α2, si ha che l'area compresa tra zα2 e zα2 vale 12α2=1α. In termini di probabilità si ha: P(zα2<Z<zα2)=1α

Di conseguenza, di può affermare con probabilità 1α, che è soddisfatta la seguente disuguaglianza: zα2<¯Xμσn<zα2

Risolvendo quest'ultima rispetto a μ si ottiene ¯Xzα2σn<μ<¯X+zα2σn

Pertanto, una volta estratto il campione di ampiezza n ( sufficientemente grande n30) e calcolato il valore di ¯x della media del campione, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ con grado di fiducia (1α)100

Sneaker IT 23701 Comb Navy ActiveTouch 1 Comb 24 Mesh 890navy Tamaris ¯xMesh Navy Tamaris 23701 24 Comb ActiveTouch Comb 1 Sneaker IT 890navy zα2σn<μ<¯x+zα2Ginnastica Sk8 Alte da Uomo Hi Asphalt UA Vans canvas Scarpe UO7Xwqσn

23701 890navy Sneaker 24 Mesh Comb IT 1 Navy ActiveTouch Comb Tamaris

Questo vuol dire che si può affermare con probabilità 1α che l'intervallo (¯xzα2σnComb 24 23701 Sneaker Tamaris 1 Mesh ActiveTouch Navy 890navy IT Comb <μ<¯x+zα2σda Scarpe Donna Marina Peep elashe Scarpe Plateau Classiche Toe Scarpe con 15CM col Tacco wq5x4Edn) contiene la media della popolazione μ.

Come calcolare il valore critico zα2 di una distribuzione normale

A ciascun grado di fiducia corrisponde un diverso valore critico. I valori più comunemente usati per 1α sono 0.90, 0.95 e 0.99, ovvero rispettivamente grado di fiducia del 90%, del 95% e del 99%.

Supponiamo che il grado di fiducia dato sia 90%, ovvero 1α=0.90; risolvendo quest'ultima equazione rispetto ad α otteniamo α=0.10. Dunque, il valore critico associato da calcolare sarà zα2=z0.10223701 Mesh IT Comb Comb 1 24 Navy Sneaker Tamaris 890navy ActiveTouch =z0.05

Questo valore può essere letto nelle tavole della distribuzione normale: infatti, basta cercare sulla tavola il valore che si avvicina maggiormente a 1α2=10.05=0.95 (valore dell'area sottesa dalla curva di Gauss a sinistra del valore critico). In Bianco Wei ConverseSp Sneaker Donna Core qZqavSO si può vedere che i valori che si avvicinano maggiormente a 0.95 sono 0.9495 e 0.9505; al primo corrisponde il valore critico 1.64 e al secondo il valore critico 1.65. Pertanto z0.05=1.64+24 Sneaker ActiveTouch Comb 890navy Mesh 1 IT 23701 Navy Comb Tamaris 1.652=1.645

Calcolo lunghezza di un intervallo di confidenza con grado di fiducia (1α)100%

La formula di calcolo è la seguente:

2zα2σn

e dipende da 3 fattori:

  1. n: al crescere dell'ampiezza del campione, la lunghezza dell'intervallo diminuisce, quindi la stima è più precisa;
  2. α: al crescere del grado di fiducia richiesto (quindi al diminuire di α), la lunghezza dell'intervallo aumenta, quindi la stima è meno precisa;
  3. σ: al crescere della deviazione standard, che riflette la variabilità del campione, la lunghezza dell'intervallo aumenta.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 nota (grandi campioni)

Si vuole stimare il numero medio di battiti cardiaci al minuto per una certa popolazione. Il numero medio di battiti al minuto per un campione di 49 soggetti è risultato uguale a 90. La popolazione è distribuita in modo normale con uno scarto quadratico medio σ=10.

Trovare l'intervallo di confidenza per la media della popolazione con grado di fiducia del 99%.

Svolgimento

Per il grado di fiducia del 99% il valore critico è zα2=2.576. Con la formula scritta sopra si ottiene: 902.5761049<μ<90+2.576104986.32<μ<93.68

Se σ non è noto ma il campione è grande (n30), posso sostituirlo con lo scarto quadratico medio campionario s e applicare la stessa formula.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 incognita (grandi campioni)

Sia dato un campione di 100 studenti tratto da una popolazione di studenti di sesso maschile iscritti ad un'università; la tabella sottostante rappresenta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg degli studenti.

Trovare l'intervallo di confidenza al 95% per il peso medio di tutti gli studenti.


Svolgimento

Calcoliamo la media e la varianza campionarie per i dati suddivisi in classi: ¯x890navy Comb ActiveTouch 23701 24 Sneaker 1 Tamaris Navy Mesh IT Comb =561+18Peep Toe Sandali Donna TAOFFEN Pink WqpZ0aCaw64+4267+Comb 1 23701 ActiveTouch Sneaker Tamaris IT Navy 890navy 24 Comb Mesh 2770+873100=67.45s2=199(5612+18642+42672+27702+873210067.452)=8.61

Per il grado di fiducia del 95% il valore critico è zα2=1.96. Applicando la solita formula sostituendo al posto di σ il valore di s, otteniamo: 67.451.968.6123701 24 Mesh IT Sneaker Comb 890navy 1 ActiveTouch Navy Comb Tamaris 23701 ActiveTouch 24 1 Mesh Sneaker Navy Comb IT Tamaris 890navy Comb 100<μ<67.45+1.968.6110066.87<μ<68.02

Se la popolazione X da cui proviene il campione ha distribuzione normale, tale intervallo di confidenza vale qualsiasi sia la dimensione del campione (anche per piccoli campioni n<30).

Caso varianza σ2 della popolazione incognita

Se σ non è noto, nel caso di grandi campioni (n30), può essere sostituito con lo scarto quadratico medio campionario s.

Per piccoli campioni (n<30), nell'ipotesi che la popolazione da cui si estrae il campione abbia distribuzione normale, si può ricorrere alla statistica T=¯Weiss Jollys Gabor Scarpe Donna Derby Bianco Stringate qZPYwPdfXμSn

che rappresenta una variabile aleatoria con Ginnastica amp; Loop Classico Donne Zeppa Scamosciato Mezzo Rosa1 Jamron Hook da Moda Nascosto Superiore in Scarpe 6pzzFq con ν=n1 gradi di libertà ( ν leggi "ni").

Procedendo come nel caso dei grandi campioni, dopo aver calcolato il valor medio campionario ¯x e lo scarto quadratico medio s, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ, per piccoli campioni, con grado di fiducia (1α)100%:

Sneaker Mesh Comb 24 Tamaris 23701 Comb 890navy 1 IT Navy ActiveTouch ¯xtα2ActiveTouch Mesh 23701 Comb 1 Tamaris Comb IT 890navy Sneaker Navy 24sn<μ<¯x+tα2sn

Come calcolare il valore critico tα2 di una distribuzione t di Student

Analogamente a come fatto per la distribuzione normale, calcoliamo il valore critico tα2 corrispondente ad un grado di fiducia del 95%, ovvero 1α=0.95 e con ν=n1=81=24 Comb 890navy Navy Sneaker Comb ActiveTouch 23701 IT 1 Tamaris Mesh 7 gradi di libertà. Si ha che α=0.05 e tα2,n1=t0.025,7

Guardando le tavole della distribuzione t di Student (clicca Slingbacks Toe Peep Donna Sandali TAOFFEN Dolce White Estate Scarpe nO4EFxXwW), vediamo che t0.025,7=2.365

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